완비 격자

3. 성질

완비 격자는 격자이며, 항상 유계 격자이다. (공집합의 이음과 만남이 각각 최대·최소 원소이다.) 반대로, 모든 유한 격자는 완비 격자이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 순서 위상 아래 콤팩트 공간이다.
• 완비 격자이다.

4. 예시

• 집합 $S$의 멱집합은 포함 관계 $(\backslash mathcal\; P(S),\backslash subseteq)$에 따라 완비 격자를 이룬다. 이때 상한은 합집합, 하한은 교집합으로 주어진다.
• 군 $G$의 부분군들의 집합은 포함 관계에 따라 완비 격자를 이룬다.^[4] 하한은 교집합, 상한은 부분군들의 합집합이 생성하는 부분군이다. 최소 원소는 단위군 {''e''}, 최대 원소는 군 ''G'' 자체이다.
• 환 $R$의 아이디얼들의 집합은 포함 관계에 따라 완비 격자를 이룬다.^[5] 상한은 아이디얼의 합, 하한은 교집합으로 주어진다.
• 위상 공간 $X$의 열린집합들의 집합은 포함 관계에 따라 완비 격자를 이룬다.^[2] 상한은 열린 집합의 합집합, 하한은 교집합의 내부로 주어진다.
• 양의 정수의 집합 $\backslash mathbb\; Z^+$은 인수 관계 $\backslash mid$에 따라 완비 격자 $(\backslash mathbb\; Z^+,\backslash mid)$를 이룬다.^[6] 최소 원소는 1, 최대 원소는 0이다. 하한은 최대 공약수, 상한은 최소 공배수로 주어진다.
• 닫힌구간 $[a,b]\backslash subset\backslash mathbb\; R$은 콤팩트 전순서 집합이므로 완비 격자이다.^[3] 단위 구간 [0,1] 및 확대된 실수 직선은 완비 격자이며, 일반적으로 전순서 집합이 완비 격자가 되는 것과 순서 위상으로 컴팩트가 되는 것은 동치이다.
• 집합 $S$ 위의 동치 관계들의 집합 $\backslash operatorname\{Eq\}(S)$은 $a\backslash sim\_1b\backslash implies\; a\backslash sim\_2b$일 때 $\{\backslash sim\}\_1\backslash le\{\backslash sim\}\_2$로 정의하면 완비 격자이다.^[1]

5. 완비 부분 격자

완비 격자 ''L''의 부분 격자 ''M''은 ''L''에서 정의된 모든 ''M''의 부분 집합 ''A''에 대해 원소 $\backslash bigwedge\; A$와 $\backslash bigvee\; A$가 실제로 ''M''에 속하면 ''L''의 '''완비 부분 격자'''라고 한다.^[1]

위의 요구 사항이 비어 있지 않은 만남과 결합만이 ''M''에 있도록 완화되면 부분 격자 ''M''은 ''L''의 '''닫힌 부분 격자'''라고 한다.

완비 격자 $L$과 그 부분 집합 $M$에 대해, $M$의 임의의 부분 집합의 $L$에서의 하한 및 상한이 모두 $M$에 속할 때, $M$을 $L$의 완비 부분 격자(complete sublattice|컴플리트 서브래티스^영어)라고 한다.

위의 조건을 "임의의 '''공집합이 아닌''' 부분 집합"으로 바꾼 것은 닫힌 부분 격자(closed sublattice|클로즈드 서브래티스^영어)라고 한다.

6. 완비 반격자

반순서 집합에서 임의의 부분 집합이 상한을 갖는 것과 임의의 부분 집합이 하한을 갖는 것은 동치이며, 이는 완비 격자인 것과도 동치이다.

따라서 '''완비 (상) 반격자'''(complete (upper) semi-lattice|컴플리트 (어퍼) 세미래티스^영어) 및 '''완비 하반격자'''(complete lower semi-lattice|컴플리트 로어 세미래티스^영어)도 완비 격자와 같은 대상을 나타낸다. 단, 준동형의 정의가 다르다(아래의 사상 절 참조).

7. 사상

완비 격자 사이의 모든 만남과 결합을 보존하는 함수를 완비 준동형 사상이라고 한다. 이는 자동적으로 단조 함수가 되지만, 완비 준동형 사상이 되기 위한 조건은 더 구체적이다.

두 완비 격자 ''L''과 ''M'' 사이의 함수 ''f: L→M''가 완비 준동형사상이라는 것은, ''L''의 모든 부분집합 ''A''에 대해 다음이 성립함을 의미한다.

• $f\backslash left(\backslash bigwedge\; A\backslash right)\; =\; \backslash bigwedge\backslash \{f(a)\backslash mid\; a\backslash in\; A\backslash \}$
• $f\backslash left(\backslash bigvee\; A\backslash right)\; =\; \backslash bigvee\backslash \{f(a)\backslash mid\; a\backslash in\; A\backslash \}$

8. 자유 구성 및 완비화

자유 대상의 구성은 선택된 사상의 종류에 따라 달라진다. 모든 결합(join)을 보존하는 함수(즉, 갈루아 연결의 하위 수반)는 '자유 완전 결합 반격자'라고 불린다.

집합 ''$S$''에 의해 생성된 자유 완전 격자는 멱집합 $2^S$로 구성될 수 있으며, 이는 부분 집합 포함 관계로 정렬된 ''$S$''의 모든 부분 집합의 집합이다. $S$의 모든 원소 $s$를 단일 집합 $\backslash \{s\backslash \}$에 매핑하면, 매핑 $f$에 대해 함수 $f^\backslash circ\; :\; 2^S\; \backslash rightarrow\; M$은 다음과 같이 정의된다.

:$f^\backslash circ\; (X)\; =\; \backslash bigvee\; \backslash \{\; f(s)\; |\; s\; \backslash in\; X\; \backslash \}$.

그러면 $f^\backslash circ$는 합집합을 상한으로 변환하므로 결합을 보존한다.

결합 대신 만남(meet)을 보존하는 사상(즉, 갈루아 연결의 상위 수반)에 대한 자유 구성은 위 내용을 쌍대화하여 얻을 수 있다. 자유 대상은 역 포함 관계에 의해 정렬된 멱집합으로 주어지며, 집합 합집합은 만남 연산을 제공하고, 함수 $f^\backslash circ$는 결합 대신 만남을 사용하여 정의된다. 이 구성의 결과는 '자유 완전 만남 반격자'로 알려져 있다.

완전 준동형 사상을 갖는 완비 격자의 상황은 더 복잡하다. 실제로 자유 완비 격자는 일반적으로 존재하지 않는다.

하지만, 생성자 집합이 자유 완비 격자가 존재하기에 충분히 작은 경우가 있을 수 있다. 불행히도 크기 제한은 매우 낮으며, 세 개의 생성자에 대한 자유 완비 격자는 진정한 클래스이기 때문에 존재하지 않는다는 정리가 있다.^[3][4]

완비 격자가 생성자 집합 대신 주어진 부분 순서 집합(poset)에서 자유롭게 생성되면, 해당 부분 순서 집합의 '완비화'(completion)라고 한다.

만약 사상으로 만남 또는 결합을 보존하는 함수를 고려한다면, 이는 데데킨트-맥네일 완비화를 통해 쉽게 달성할 수 있다. 이 과정에서, 부분 순서 집합의 원소는 (데데킨트-) '절단'(cuts)에 매핑된다.

자유 완비 격자가 존재하지 않는다는 결과는 부분 순서 집합으로부터의 해당 자유 구성 역시 불가능하다는 것을 의미한다.

9. 표현

G. 버크호프는 저서 《격자 이론》에서 두 집합 간의 이진 관계에 갈루아 연결을 구성하여 완비 격자를 연관시키는 방법을 제시했다.^[5] 이 방법은 두 개의 이중 동형 폐포 시스템으로 이어진다. 폐포 시스템은 교차점에 대해 닫혀 있는 집합족으로, 부분 집합 관계(⊆)로 정렬하면 완비 격자가 된다.

버크호프의 구성은 형식 개념 분석에 활용된다. 형식 개념 분석에서는 실제 세계 데이터를 이진 관계(형식적 컨텍스트)로 표현하고, 데이터 분석을 위해 관련 완비 격자(개념 격자)를 사용한다. 따라서 형식 개념 분석의 수학적 기반은 완비 격자 이론이다.

완비 격자의 부분 집합은 증가하고 멱등인 자기 사상의 이미지인 경우에만 (유도된 순서로 정렬될 때) 자체적으로 완비 격자이다. 항등 사상은 이 두 가지 속성을 가지므로, 모든 완비 격자가 나타난다.

참조

_[1] 서적 A Course in Universal Algebra. http://www.thoralf.u[...] Springer-Verlag 1981
_[2] 웹사이트 Complete Lattices https://www.math.ucl[...] 2022-06-08
_[3] 서적 Stone Spaces Cambridge University Press 1982
_[4] 논문 On the non-existence of free complete Boolean algebras
_[5] 서적 Lattice Theory American Mathematical Society 1967
_[6] 서적 Continuous lattices and domains Cambridge University Press 2003